Z wykształcenia był fizykiem po Uniwersytecie Warszawskim, ukończył także studia podyplomowe z zakresu technologii elektronowej na warszawskiej Politechnice Warszawskiej. Od 1962 r. był członkiem Klubu Inteligencji Katolickiej w Warszawie.
W 1976 r. zaangażował się w pomoc robotnikom z Ursusa represjonowanym za udział w wydarzeniom czerwca 1976, był współpracownikiem Komitetu Obrony Robotników (1976-1977), członkiem Komitetu Samoobrony Społecznej „KOR”, za co w 1978 r. został zwolniony z pracy.
Organizował i redagował podziemne czasopismo „Robotnik” i był w gronie założycieli Wolnych Związków Zawodowych Wybrzeża. W Niezależnym Samorządnym Związku Zawodowym „Solidarność” działał od 1980 r. – zasiadał we władzach krajowych i mazowieckich tego związku.
Po ogłoszeniu stanu wojennego w Polsce – internowany od jego pierwszego dnia, czyli 13 grudnia 1981, do września 1982 był internowany, potem do 1984 i ponownie od czerwca do września 1986 więziony.
Odszedł Henryk Wujec. Legenda Solidarności. Ostatni raz spotkałem go rok temu w Gdańsku. Był jak zawsze symbolem związku, który pamiętamy sprzed 40 lat. Wrocław jest miastem Solidarności i o ludziach Solidarności zawsze będzie pamiętał. Panie Henryku, dziękujemy za Polskę. pic.twitter.com/xrTYFI9R0V
— Jacek Sutryk (@SutrykJacek) August 15, 2020
W latach 1987–1988 był członkiem, a od 1988 do 1990 sekretarzem Komitetu Obywatelskiego przy przewodniczącym Solidarności Lechu Wałęsie. Uczestniczył w w obradach Okrągłego Stołu w roku 1989, w zespole ds. pluralizmu związkowego.
Był posłem czterch kadencji Sejmu RP (1989–2001) z ramienia Obywatelskiego Klubu Parlamentarnego (w 1990 r. był współzałożycielem Ruchu Obywatelskiego Akcja Demokratyczna), Unii Demokratycznej, a następnie Unii Wolności.
W rządzie Jerzego Buzka zajmował stanowisko sekretarza stanu w Ministerstwie Rolnictwa i Rozwoju Wsi (1999-2000). Został członkiem komitetu poparcia Bronisława Komorowskiego przed przyspieszonymi wyborami prezydenckimi 2010, w październiku tegoż roku został na pięć lat doradcą prezydenta RP Bronisława Komorowskiego ds. społecznych.
W 2012 r. powołano Henryka Wujca do Międzynarodowej Rady Oświęcimskiej, arok później do Rady Fundacji Auschwitz-Birkenau. W 2014 był współzałożycielem Komitetu Obywatelskiego Solidarności z Ukrainą (KOSzU).
W 2004 r. został odznaczony przez prezydenta A. Kwaśniewskiego Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski, a w roku 2006 prezydent L. Kaczyński nadał mu Krzyż Komandorski z Gwiazdą tego orderu. Otrzymał również Odznakę Honorową za Zasługi dla Samorządu Terytorialnego (2015). Wraz z żoną Ludwiką był laureatem Nagrody im. prof. Zbigniewa Hołdy (2016).
